无限 Galois 理论

从有限到无限

经典 Galois 理论处理有限 Galois 扩张，此时 Galois 群是有限群。但许多自然的域扩张是无限的：

给定域 $F$ 的代数闭包 $\overset{―}{F} / F$
$C / R$ （这是有限的！但 $\overset{―}{Q} / Q$ 是无限的）
无限维数扩张

无限 Galois 理论的核心思想是给 Galois 群赋予拓扑结构，使得 Galois 对应仍然成立。

逆极限与 profinite 群

逆极限的定义

给定有向偏序集 $(I, \leq)$ 和一族群 ${G_{i}}_{i \in I}$ ，对任意 $i \leq j$ 有同态 $ϕ_{i j} : G_{j} \to G_{i}$ 满足：

$ϕ_{i i} = {id}_{G_{i}}$
$ϕ_{i k} = ϕ_{i j} \circ ϕ_{j k}$ （ $i \leq j \leq k$ ）

逆极限是：

\underset{i \in I}{\lim_{\leftarrow}} G_{i} = {(g_{i}) \in \prod_{i \in I} G_{i} | ϕ_{i j} (g_{j}) = g_{i} 对所有 i \leq j}

::: theorem 关键例子：绝对 Galois 群

Gal (\overset{―}{Q} / Q) ≅ \underset{K / Q 有限 Galois}{\lim_{\leftarrow}} Gal (K / Q)

这里偏序是自然的：如果 $K_{1} \subseteq K_{2}$ ，则存在限制映射 $Gal (K_{2} / Q) \to Gal (K_{1} / Q)$ 。 :::

Krull 拓扑

给定无限 Galois 扩张 $L / F$ ，对每个有限 Galois 子扩张 $K / F$ （ $F \subseteq K \subseteq L$ ），定义：

U_{K} = Gal (L / K) = {σ \in Gal (L / F) ∣ σ |_{K} = {id}_{K}}

这些 $U_{K}$ 在 $Gal (L / F)$ 中构成正规子群，且全体 ${U_{K}}$ 构成单位元 $id$ 的邻域基。

::: theorem Krull 拓扑

以 ${U_{K}}$ 为单位元的邻域基，生成群上的拓扑——Krull 拓扑。
此拓扑是 Hausdorff 的。
此拓扑是紧致的（Tychonoff 定理的推论）。
此拓扑是完全不连通的。 :::

具有 Hausdorff、紧致、完全不连通拓扑的群称为 profinite 群。

无限 Galois 基本定理

::: theorem 定理：无限 Galois 对应设 $L / F$ 为（无限）Galois 扩张。则存在包含反序双射：

{子群 H \leq Gal (L / F)} ⟷ {中间域 F \subseteq E \subseteq L}

其中：

左端：闭子群（在 Krull 拓扑下）
右端：所有中间域

对应由：

$H ⟼ L^{H}$ （不动域）
$E ⟼ Gal (L / E)$ :::

::: proof 证明思路

无限扩张可写成有限 Galois 子扩张的直极限。
有限 Galois 理论给出每个子扩张上的对应。
取逆极限得到无限情况的对应。
"闭"条件保证逆极限兼容。 :::

Profinite 群的性质

每个 profinite 群同构于某个 Galois 群
开子群 $⟷$ 有限商群 $⟷$ 有限 Galois 子扩张
Profinite 群是离散有限群的逆极限

::: example 例子： $\hat{Z}$ 加法群的 profinite 完备化：

\hat{Z} = \underset{n}{\lim_{\leftarrow}} Z / n Z

这是 ${\overset{―}{F}}_{p} / F_{p}$ 的 Galois 群（同构于 $\hat{Z}$ ）。 :::

绝对 Galois 群

$Gal (\overset{―}{F} / F)$ 是所有有限 Galois 扩张的 Galois 群的逆极限。它编码了域的所有代数信息。

重要例子

域	绝对 Galois 群
$C$	平凡
$R$	$Z / 2 Z$
$F_{q}$	$\hat{Z}$
$Q_{p}$	已知但复杂
$Q$	未知——这是现代数论的核心问题