第七章：可分扩张

可分性是多项式"无重根"的精确代数刻画，是 Galois 理论另一半基石。本章建立可分多项式、可分扩张和完全域的理论。

• 7.1 重根与导子
  • 定义
• 7.2 可分多项式
  • 引理 7.1
  • 特征 的情形
• 7.3 完全域
  • 定义
  • 定理 7.2
  • 定理 7.3
• 7.4 可分扩张
  • 定义
  • 定理 7.4 (可分元素的封性)
• 7.5 可分次数
  • 定义
  • 定理 7.5
• 7.6 纯不可分扩张
  • 定义
  • 定理 7.6 (可分-不可分分解)
• 7.7 本原元素定理
  • 定理 7.7 (本原元素定理)
• 7.8 Galois 扩张的下一站
• 小结

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7.1 重根与导子

定义

多项式 $f(x)\in F[x]$ 称为可分的（separable），若它在代数闭包中没有重根。

重根的判别：$f$ 有重根 $⟺gcd(f,f^{\prime })\ne 1$，其中 $f^{\prime }$ 是形式导数。

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7.2 可分多项式

引理 7.1

不可约多项式 $p(x)\in F[x]$ 可分 $⟺$ $p^{\prime }(x)\ne 0$。

当 $\mathrm{char}F=0$ 时，$p^{\prime }(x)\ne 0$ 自动成立。问题出现在正特征情形。

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特征 $p$ 的情形

设 $\mathrm{char}F=p>0$。

• 若 $p(x)$ 不可约但 $p^{\prime }(x)=0$，则 $p(x)=q(x^p)$，其中 $q\in F[x]$。
• 这种不可约多项式必有重根。

::: example-block "例" $F={\mathbb{F}}_p(t)$（有理函数域）。多项式 $x^p-t$ 在 $F$ 上不可约，但 $f^{\prime }(x)=p{x}^{p-1}=0$。在分裂域中，$x^p-t=(x-\alpha {)}^p$，$\alpha$ 为 $p$ 重根！ :::

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7.3 完全域

定义

域 $F$ 称为完全域（perfect field），若 $F[x]$ 中每个不可约多项式都是可分的。

定理 7.2

下述域都是完全域：

1. 特征 $0$ 的域；
2. 有限域；
3. 代数闭域。

定理 7.3

域 $F$ 是完全域 $⟺$ 要么 $\mathrm{char}F=0$，要么 $\mathrm{char}F=p>0$ 且 Frobenius 同态 $x\mapsto x^p$ 是满的。

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7.4 可分扩张

定义

设 $K/F$ 为代数扩张。

• 元素 $\alpha \in K$ 称为在 $F$ 上可分的，若其极小多项式在 $F$ 上可分。
• 扩张 $K/F$ 称为可分扩张，若 $K$ 中每个元素在 $F$ 上可分。
• 否则称为不可分扩张（inseparable extension）。

定理 7.4 (可分元素的封性)

设 $K/F$ 为代数扩张。$K$ 中在 $F$ 上可分的所有元素构成 $K$ 的一个子域，称为 $F$ 在 $K$ 中的可分闭包（separable closure）。

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7.5 可分次数

定义

设 $K/F$ 为有限代数扩张。定义可分次数 $[K:F{]}_s$ 为从 $K$ 到 $F$ 的代数闭包 $\bar{F}$ 的 $F$-嵌入个数。

定理 7.5

1. $[K:F{]}_s\le [K:F]$；
2. $K/F$ 可分 $⟺$ $[K:F{]}_s=[K:F]$；
3. 若 $M\supseteq K\supseteq F$，则 $[M:F{]}_s=[M:K{]}_s[K:F{]}_s$（可分次数的塔定理）。

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7.6 纯不可分扩张

対偶于可分扩张，我们有：

定义

代数扩张 $K/F$ 称为纯不可分的（purely inseparable），若对任意 $\alpha \in K$，存在 $n\ge 0$ 使得 ${\alpha }^{p^n}\in F$（当 $\mathrm{char}F=p>0$），或在特征 $0$ 时只有 $K=F$。

定理 7.6 (可分-不可分分解)

设 $K/F$ 为代数扩张。则存在唯一中间域 $F\subseteq K_s\subseteq K$ 使得：

• $K_s/F$ 可分；
• $K/K_s$ 纯不可分。

$K_s$ 即 $K$ 中 $F$ 上可分元素全体。

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7.7 本原元素定理

定理 7.7 (本原元素定理)

设 $K/F$ 为有限可分扩张。则存在 $\alpha \in K$（称为本原元素）使得 $K=F(\alpha )$。

::: proof-block "证明思路" 若 $F$ 是无限域，设 $K=F(\beta ,\gamma )$。考虑无穷多个 $F(\beta +c\gamma )$，$c\in F$。由鸽笼原理可得某些 $c$ 使 $\beta +c\gamma$ 生成整个扩张。有限域情形需另行处理。 :::

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7.8 Galois 扩张的下一站

有了可分扩张和正规扩张，我们终于可以定义：

Galois 扩张 = 正规可分扩张。

下一章 第八章：有限域 将讨论有限域——天然同时具备正规性和可分性的典范模型。

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小结

1. 可分多项式在代数闭包中无重根；
2. 完全域上所有不可约多项式均可分；
3. 有限扩张可分 $⟺$ 可分次数等于扩张次数；
4. 有限可分扩张有本原元素；
5. Galois 扩张 = 正规扩张 + 可分扩张。