第一章：群论基础

群是现代代数的核心语言。Galois 发现方程的根式可解性等价于某个群的"可解性"——这一洞察要求我们首先建立群论的完整词汇。

• 1.1 群的定义与基本例子
  • 定义 (群)
  • 例子
  • 非例子
• 1.2 子群与商群
  • 定义 (子群)
  • 例子
  • 定义 (陪集与正规子群)
  • 定义 (商群)
• 1.3 同态与同构定理
  • 定义 (同态)
  • 定理 (第一同构定理)
  • 定理 (第二同构定理)
  • 定理 (第三同构定理)
• 1.4 群作用
  • 定义 (群作用)
  • 定义 (轨道与稳定子)
  • 定理 (轨道-稳定子定理)
  • 例子：Galois 理论的预演
• 1.5 Sylow 定理
• 1.6 可解群
  • 定义 (可解群)
  • 例子
• 小结

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1.1 群的定义与基本例子

定义 (群)

一个 群 是一个集合 $G$ 配上一个二元运算 $\cdot :G\times G\to G$（通常记为乘法），满足：

1. 结合律：对任意 $a,b,c\in G$，$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$；
2. 单位元：存在 $e\in G$，使得对任意 $a\in G$，$e\cdot a=a\cdot e=a$；
3. 逆元：对任意 $a\in G$，存在 $a^{-1}\in G$，使得 $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$。

若额外满足 $a\cdot b=b\cdot a$ 对所有 $a,b\in G$ 成立，则称 $G$ 为 Abel 群（交换群）。

直觉：群捕捉了"对称"的本质。一个对象的全部对称构成一个群：两个对称的复合仍是对称，恒等变换是平凡的对称，每个对称都有逆变换。

例子

::: example-box "经典群"

• $(\mathbb{Z},+)$：整数在加法下构成 Abel 群。
• $({\mathbb{Q}}^{\times },\cdot )$：非零有理数在乘法下构成 Abel 群。
• $S_n$（对称群）：$n$ 个元素的全体置换构成群，阶为 $n!$。当 $n\ge 3$ 时非交换。
• $G{L}_n(\mathbb{R})$（一般线性群）：$n\times n$ 可逆实矩阵在乘法下构成群。
• $C_n$（循环群）：$\{1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{n-1}\}$，其中 $\zeta =e^{2\pi i/n}$，是 $n$ 次单位根构成的乘法群。 :::

非例子

• $(\mathbb{N},+)$ 不是群（缺少逆元）。
• $(\mathbb{Z},\cdot )$ 不是群（$2$ 的逆元 $1/2$ 不在 $\mathbb{Z}$ 中）。
• 任意两个元素构成的集合 $\{a,b\}$ 配任意运算，一般不是群。

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1.2 子群与商群

定义 (子群)

群 $G$ 的一个子集 $H\subseteq G$ 若在 $G$ 的运算下自身构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的 子群，记为 $H\le G$。

判别准则：$H\le G$ 当且仅当 $H\ne \varnothing$ 且对任意 $a,b\in H$，有 $a{b}^{-1}\in H$。

例子

• $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}\le \mathbb{Z}$。
• $\{1,-1\}\le {\mathbb{Q}}^{\times }$。
• $A_n$（偶置换构成的交错群）$\le S_n$，且 $[S_n:A_n]=2$。

定义 (陪集与正规子群)

设 $H\le G$。对于 $g\in G$，左陪集为 $gH=\{gh\mid h\in H\}$。所有左陪集的集合记为 $G/H$，其大小称为 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]$。

若对任意 $g\in G$ 有 $gH=Hg$，则称 $H$ 为 正规子群，记为 $H⊴G$。

::: theorem-box "Lagrange 定理" 设 $G$ 为有限群，$H\le G$。则

$$|G|=[G:H]\cdot |H|.$$

特别地，子群的阶整除群的阶。 :::

定义 (商群)

若 $H⊴G$，则陪集集合 $G/H$ 在运算 $(aH)(bH)=(ab)H$ 下构成群，称为 商群。

直觉：商群 $G/H$ 是"将 $H$ 坍缩为单位元"后得到的群，类似于对正规子群取"模"。

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1.3 同态与同构定理

定义 (同态)

设 $G,H$ 为群。映射 $\phi :G\to H$ 若满足 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，则称为 同态。

• 核：$\ker \phi =\{g\in G\mid \phi (g)=e_H\}$，必为 $G$ 的正规子群。
• 像：$\mathrm{im}\phi =\{\phi (g)\mid g\in G\}$，必为 $H$ 的子群。

定理 (第一同构定理)

设 $\phi :G\to H$ 为群同态，则

$$G/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi .$$

::: proof-block "证明思路" 定义 $\tilde{\phi }:G/\ker \phi \to \mathrm{im}\phi$ 为 $\tilde{\phi }(g\ker \phi )=\phi (g)$。这一定义是良定的（不依赖于陪集代表元的选取），且是双射同态。 :::

定理 (第二同构定理)

设 $H\le G$，$N⊴G$，则 $HN\le G$，$H\cap N⊴H$，且

$$H/(H\cap N)\cong HN/N.$$

定理 (第三同构定理)

设 $N⊴G$，$K⊴G$，且 $N\subseteq K$，则 $K/N⊴G/N$，且

$$(G/N)/(K/N)\cong G/K.$$

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1.4 群作用

定义 (群作用)

群 $G$ 在集合 $X$ 上的一个（左）作用 是一个映射 $G\times X\to X$，记为 $(g,x)\mapsto g\cdot x$，满足：

1. $e\cdot x=x$ 对所有 $x\in X$；
2. $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ 对所有 $g,h\in G$，$x\in X$。

直觉：群作用是"用群的元素重新排列某个集合"。Galois 群正是通过作用在多项式的根上来定义的。

定义 (轨道与稳定子)

对于 $x\in X$：

• 轨道：$G\cdot x=\{g\cdot x\mid g\in G\}\subseteq X$。
• 稳定子：$G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}\le G$。

定理 (轨道-稳定子定理)

设有限群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，则对任意 $x\in X$，

$$|G|=|G\cdot x|\cdot |G_x|.$$

特别地，轨道的大小整除群的阶。

::: proof-block "证明" 定义映射 $G/G_x\to G\cdot x$ 为 $g{G}_x\mapsto g\cdot x$。这是良定的双射，故 $|G\cdot x|=[G:G_x]$，由 Lagrange 定理即得结论。 :::

例子：Galois 理论的预演

考虑多项式 $x^3-2\in \mathbb{Q}[x]$。它的三个根为：

$$\alpha =\sqrt[3]{2},\beta =\omega \sqrt[3]{2},\gamma ={\omega }^2\sqrt[3]{2},$$

其中 $\omega =e^{2\pi i/3}$。置换这三个根的方式构成一个群——这就是该多项式的 Galois 群（我们将在第九章详细讨论）。

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1.5 Sylow 定理

::: theorem-box "Sylow 定理（三部曲）" 设 $G$ 为有限群，$|G|=p^r\cdot m$，其中 $p$ 为素数且 $p\nmid m$。

1. 存在性：$G$ 包含至少一个 $p^r$ 阶子群（称为 Sylow $p$-子群）。
2. 共轭性：所有 Sylow $p$-子群彼此共轭。
3. 计数：Sylow $p$-子群的个数 $n_p$ 满足 $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 且 $n_p\mid m$。 :::

Sylow 定理是有限群分类的基石，在 Galois 理论中用于分析 Galois 群的子群结构。

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1.6 可解群

定义 (可解群)

群 $G$ 称为 可解群，若存在子群链

$$\{e\}=G_0⊴G_1⊴\cdots ⊴G_n=G,$$

使得每个商群 $G_{i+1}/G_i$ 是 Abel 群。

核心联系：Galois 理论的核心定理指出——一个多项式方程可以根式求解，当且仅当其 Galois 群是可解群。这正是第十一章的主题。

例子

• 所有 Abel 群显然可解。
• $S_3$ 可解（通过 $A_3⊴S_3$，且 $A_3\cong C_3$ 和 $S_3/A_3\cong C_2$ 均为 Abel 群）。
• $S_4$ 可解。
• $S_n$（$n\ge 5$）不可解——这正是五次以上一般方程无根式解的根本原因。

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小结

本章建立了群论的核心词汇：群、子群、正规子群、商群、同态、同构定理、群作用、Sylow 定理和可解群。这些概念将在后续各章中反复出现，特别是在 Galois 对应的核心构造中。

延伸阅读：任何标准抽象代数教材中群论部分的完整论述。接下来，第二章：环与模 将引入多项式环所需的环论基础。