第十三章：Galois 上同调入门

引入群上同调的语言，统一理解 Kummer 理论与 Artin-Schreier 理论。

13.1 群上同调初步

设 $G$ 是有限群， $A$ 是 $G$ -模（即具有 $G$ 作用的交换群）。

0 阶上同调：

H^{0} (G, A) = A^{G} = {a \in A ∣ g a = a, \forall g \in G}

1 阶上闭链：

Z^{1} (G, A) = {f : G \to A ∣ f (g h) = f (g) + g f (h)}

1 阶上边界：

B^{1} (G, A) = {f : G \to A ∣ f (g) = g a - a, \exists a \in A}

1 阶上同调群：

H^{1} (G, A) = Z^{1} (G, A) / B^{1} (G, A)

经典 Hilbert 定理 90 的加性版本。

设 $L / K$ 是有限 Galois 扩张， $G = Gal (L / K)$ 。

定理（加性 Hilbert 90）： $H^{1} (G, L) = 0$ 。

证明基于正规基底定理：存在 $β \in L$ 使得 ${g β}_{g \in G}$ 构成 $L$ 在 $K$ 上的基底，从而对任意上闭链 $f$ 可解出 $f (g) = g α - α$ 。

定理（乘性 Hilbert 90）： $H^{1} (G, L^{\times}) = 0$ 。

即对任意满足 $α_{g h} = α_{g} g (α_{h})$ 的 $α_{g} \in L^{\times}$ ，存在 $β \in L^{\times}$ 使得 $α_{g} = \frac{g β}{β}$ 。

这是一个深层的「下降」结果。

设 $K$ 含有 $n$ 次单位根（ $char K ∤ n$ ）。则所有指数为 $n$ 的 Abel 扩张 $L / K$ 与 $K^{\times} / (K^{\times})^{n}$ 的子群一一对应。

具体对应：

Δ \subset K^{\times} / (K^{\times})^{n} ⟷ L = K (\sqrt[n]{Δ})

Galois 群 $Gal (L / K) ≅ Hom (Δ, μ_{n})$ 。

这是 Hilbert 90 的一个非平凡应用。

特征 $p > 0$ 时，Kummer 理论不可用。Artin-Schreier 理论处理 $Z / p Z$ 扩张。

特征 $p$ 域 $K$ 上，所有初等 Abel $p$ -扩张由 Artin-Schreier 方程

x^{p} - x = a, a \in K

给出。

Galois 上同调是现代数论的基础语言。它统一了 Kummer 理论和 Artin-Schreier 理论，并通向 étale 上同调和 Grothendieck 的 Galois 理论。

上同调为 Galois 理论提供了新的组织方式，特别在理解域的 Abel 扩张分类上非常强大。