第十二章：尺规作图

用 Galois 理论解决古典三大作图问题。

• 12.1 尺规作图规则
• 12.2 可构造数
  • 代数特征
• 12.3 三大古典问题
  • 1. 倍立方（Doubling the Cube）
  • 2. 三等分角（Angle Trisection）
  • 3. 化圆为方（Squaring the Circle）
• 12.4 正 边形作图
  • 例子
• 12.5 证明思路（Galois 理论）
• 小结

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12.1 尺规作图规则

允许操作：

1. 过两点作直线；
2. 以一点为圆心、两点间距离为半径作圆；
3. 取直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点。

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12.2 可构造数

::: definition 可构造数 实数 $\alpha$ 称为可构造的，如果从 $0$ 和 $1$ 出发，通过有限次尺规作图可得到长度为 $|\alpha |$ 的线段。 :::

代数特征

定理：$\alpha$ 可构造 ⇔ 存在域扩张塔

$$\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset \cdots \subset F_k=\mathbb{Q}(\alpha )$$

其中 $[F_{i+1}:F_i]=2$ 对每个 $i$ 成立。

推论：若 $\alpha$ 可构造，则 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=2^m$ 对某个 $m$ 成立。

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12.3 三大古典问题

1. 倍立方（Doubling the Cube）

作一立方体，使其体积为给定立方体体积的两倍。

等价于构造 $\sqrt[3]{2}$。但 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$，不是 $2$ 的幂 ⇒ 不可构造。

2. 三等分角（Angle Trisection）

任意角是否可以三等分？

${60}^{\circ }$ 角不可三等分，因为构造 $\cos {20}^{\circ }$ 等价于解 $4x^3-3x=\frac{1}{2}$，其极小多项式次数为 $3$ ⇒ 不可三等分。

3. 化圆为方（Squaring the Circle）

作一正方形使其面积等于给定圆面积。

等价于构造 $\sqrt{\pi }$。Lindemann 于 1882 年证明 $\pi$ 是超越数，所以 $\sqrt{\pi }$ 不可构造（超越数不可构造）。

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12.4 正 $n$ 边形作图

正 $n$ 边形可尺规作图 ⇔ $n=2^k{p}_1\cdots p_r$，其中 $p_i$ 是相异的 Fermat 素数（形如 $2^{2^m}+1$ 的素数）。

例子

• 正三角形、正方形、正五边形、正六边形 → 可构造；
• 正七边形 → 不可构造（$7$ 不是 Fermat 素数）；
• 正十七边形 → 可构造（Gauss, 1796）。

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12.5 证明思路（Galois 理论）

正 $n$ 边形作图等价于构造 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$。扩张 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ 的度数为 $\phi (n)$（Euler 函数），Galois 群 $\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$。

可构造 ⇔ $\phi (n)$ 是 $2$ 的幂 ⇔ $n$ 具有所述形式。

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小结

Galois 理论用代数方法干净利落地解答了几何难题，展示了数学深层结构的统一性。

下一章 第十三章：Galois 上同调入门 引入现代工具。