第九章：Galois 群与基本定理

Galois 理论的核心：域的对称性由自同构群刻画，中间域与子群精确对应。本章是教程的中枢。

• 9.1 Galois 群的定义
  • 定义
  • 引理 9.1
• 9.2 Galois 扩张的定义
  • 定义
  • 定理 9.2 (等价条件)
  • 例：二次扩张
  • 非例
• 9.3 基本定理
• 9.4 基本定理的直观
• 9.5 例子：
• 9.6 例子： 的分裂域
• 9.7 基本定理的证明思路
• 小结

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9.1 Galois 群的定义

定义

设 $E/F$ 为域的代数扩张。$E$ 的 $F$-自同构全体构成群：

$$\mathrm{Gal}(E/F)=\{\sigma :E\to E\mid \sigma {|}_F={\mathrm{id}}_F,\sigma \text{为域同构}\}$$

引理 9.1

若 $f\in F[x]$ 且 $\alpha \in E$ 是 $f$ 的根，则对任意 $\sigma \in \mathrm{Gal}(E/F)$，$\sigma (\alpha )$ 也是 $f$ 的根。

Galois 群置换多项式的根。

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9.2 Galois 扩张的定义

定义

有限扩张 $E/F$ 称为 Galois 扩张，若 $|\mathrm{Gal}(E/F)|=[E:F]$。

定理 9.2 (等价条件)

$E/F$ 为 Galois 扩张 $⟺$ $E$ 是某个可分多项式的分裂域 $⟺$ $E/F$ 正规且可分。

例：二次扩张

$\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}$（$d$ 无平方因子）是 Galois 扩张，Galois 群为 $C_2$，非平凡元为 $\sqrt{d}\mapsto -\sqrt{d}$。

非例

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是 Galois 扩张：分裂域需要 $e^{2\pi i/3}$，扩张次数为 $6$，但自同构群只有 $1$ 阶。

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9.3 基本定理

::: theorem-box type="theorem" title="Galois 基本定理"

设 $E/F$ 为有限 Galois 扩张，$G=\mathrm{Gal}(E/F)$。

存在双射：

$$\{\text{中间域}K\mid F\subseteq K\subseteq E\}⟷\{\text{子群}H⩽G\}$$

对应用：

• $K\mapsto \mathrm{Gal}(E/K)$（固定域到子群）
• $H\mapsto E^H$（固定子群到固定域）

满足：

1. 包含关系反序：

   $$H_1\subseteq H_2⟹E^{H_1}\supseteq E^{H_2}$$$$K_1\subseteq K_2⟹\mathrm{Gal}(E/K_1)\supseteq \mathrm{Gal}(E/K_2)$$

2. **[E:K] = |H|$，$[K:F] = [G:H]$；

3. $K/F$ Galois $⟺$ $H⊴G$，此时 $\mathrm{Gal}(K/F)\cong G/H$。

:::

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9.4 基本定理的直观

Galois 对应将域论问题转化为群论问题：

• 找所有中间域 → 找所有子群；
• 判断中间域是否 Galois → 判断子群是否正规；
• 计算 Galois 群 → 判断群结构。

这正是 Galois 理论的威力所在。

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9.5 例子：$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$

• 扩张次数：$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$；
• Galois 群：$G=⟨\sigma ,\tau ⟩\cong C_2\times C_2$，其中
  • $\sigma$ 固定 $\sqrt{3}$，$\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$；
  • $\tau$ 固定 $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3}$；

子群格：

        G = {1, σ, τ, στ}
       /    |    \
  ⟨σ⟩     ⟨τ⟩    ⟨στ⟩
       \    |    /
        {1}

对应中间域格：

    ℚ(√2, √3)
   /    |    \
ℚ(√3) ℚ(√6) ℚ(√2)
   \    |    /
       ℚ

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9.6 例子：$x^3-2$ 的分裂域

分裂域 $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$，其中 $\omega =e^{2\pi i/3}$。

• $[E:\mathbb{Q}]=6$；
• $G\cong S_3$：
  • 根置换：$\{\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}\}$；
  • 固定 $\omega$ 的 $\sigma$：旋转；
  • 固定 $\sqrt[3]{2}$ 的 $\tau$：复共轭；

子群格（$S_3$）：

      S_3
    /  |  \
  A_3 ⟨τ⟩ ⟨στ⟩ ⟨σ²τ⟩
    \
    {1}

对应中间域：

• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega {)}^{A_3}=\mathbb{Q}(\omega )$（二次扩张，Galois）；
• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega {)}^{⟨\tau ⟩}=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$（三次扩张，非 Galois）。

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9.7 基本定理的证明思路

::: proof-block open

1. 构造映射：对中间域 $K$，$\mathrm{Gal}(E/K)⩽G$ 是闭子群；
2. 证明 $[E:E^H]=|H|$（线性独立特征引理）；
3. 推出 $E^{\mathrm{Gal}(E/K)}=K$（利用有限性）；
4. 验证包含反序和次数公式；
5. 正规性等价于封闭性。

:::

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小结

1. Galois 群 = $F$-自同构群；
2. Galois 扩张 = 正规 + 可分；
3. 基本定理给出中间域与子群的精确双射；
4. 包含关系反序，次数对应，正规子群对应 Galois 中间域。

下一章 第十章：Galois 对应详解 深入探讨具体计算。