第五章：代数扩张

代数扩张是 Galois 理论的基石。本章深入探讨代数扩张的本质结构，建立有限扩张与代数扩张之间的精确关系，并证明代数闭包的存在性。

• 5.1 回顾与深化
• 5.2 有限扩张与代数扩张
  • 定理 5.1
  • 定理 5.2
• 5.3 代数元的运算
  • 定理 5.4
• 5.4 代数闭包
  • 定义
  • 定理 5.5 (代数闭包的存在性和唯一性)
• 5.5 代数扩张的传递性
  • 定理 5.6
• 5.6 代数扩张与有限生成
  • 命题 5.7
  • 命题 5.8
• 5.7 代数闭包的应用一瞥
• 小结

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5.1 回顾与深化

在 第四章 中，我们引入了代数元、极小多项式和代数扩张的初步概念。本章将这些概念推向纵深。

回顾：域扩张 $K/F$ 中，元素 $\alpha \in K$ 若存在非零多项式 $f\in F[x]$ 满足 $f(\alpha )=0$，则 $\alpha$ 在 $F$ 上代数。

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5.2 有限扩张与代数扩张

定理 5.1

有限扩张必为代数扩张，但反之不真。

::: proof-block "证明" 前半部分已在第四章给出。后半部分的反例：$\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$（有理数域的代数闭包）是代数扩张，但 $[\bar{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$。 :::

定理 5.2

域扩张 $K/F$ 是有限扩张 当且仅当 $K$ 可由有限个代数元生成。

::: theorem-box "定理 5.3 (有限生成 + 代数 = 有限)" 设 $K=F({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$，若每个 ${\alpha }_i$ 在 $F$ 上代数，则 $K/F$ 是有限扩张。具体地，

$$[K:F]\le \prod _{i=1}^n\mathrm{deg}{m}_{{\alpha }_i}(x).$$

当扩张为单代数扩张 $F(\alpha )$ 时，等号成立。 :::

::: proof-block "证明思路" 对生成元个数归纳。设 $F_0=F$，$F_i=F_{i-1}({\alpha }_i)$。每个 $F_i/F_{i-1}$ 是单代数扩张，次数 $\le \mathrm{deg}{m}_{{\alpha }_i}$。由次数塔公式即得。 :::

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5.3 代数元的运算

定理 5.4

设 $K/F$ 为域扩张。$K$ 中所有在 $F$ 上代数的元素构成 $K$ 的一个子域。

换言之：代数元的和、差、积、商（分母非零）仍是代数元。

::: proof-block "证明思路" 设 $\alpha ,\beta$ 在 $F$ 上代数。考虑 $F(\alpha ,\beta )$。由定理 5.3，$F(\alpha ,\beta )/F$ 是有限扩张，因此是代数扩张。于是 $\alpha \pm \beta ,\alpha \beta ,\alpha /\beta \in F(\alpha ,\beta )$ 都在 $F$ 上代数。 :::

这个重要结论告诉我们：代数元构成的集合不是一个"松散"的集合，而具有域的结构。

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5.4 代数闭包

定义

域 $F$ 的 代数闭包 $\bar{F}$ 是 $F$ 的一个代数扩张，且 $\bar{F}$ 是代数闭域（即 $\bar{F}[x]$ 中每个非常数多项式在 $\bar{F}$ 中有根）。

定理 5.5 (代数闭包的存在性和唯一性)

任意域 $F$ 都存在代数闭包，并且在 $F$-同构意义下唯一。

::: proof-block "证明思路（存在性）" 使用 Zorn 引理。考虑所有 $F$ 的代数扩张构成的偏序集（按嵌入关系），Zorn 引理给出极大元，证明此极大元必为代数闭域。具体构造需对 $F[x]$ 中所有不可约多项式逐一添加根，步骤需要无穷次迭代。 :::

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5.5 代数扩张的传递性

定理 5.6

代数扩张的传递性：若 $L/F$ 代数且 $K/L$ 代数，则 $K/F$ 代数。

::: proof-block "证明" 任取 $\alpha \in K$。$\alpha$ 在 $L$ 上代数，设其极小多项式为 $x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$，系数 $a_i\in L$。考虑 $F_0=F(a_0,\dots ,a_{n-1})$。每个 $a_i$ 在 $F$ 上代数，故 $F_0/F$ 有限。$\alpha$ 在 $F_0$ 上代数，故 $F_0(\alpha )/F_0$ 有限。由次数塔公式，$F_0(\alpha )/F$ 有限，从而是代数扩张。所以 $\alpha$ 在 $F$ 上代数。 :::

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5.6 代数扩张与有限生成

命题 5.7

$K/F$ 是有限扩张 $⟺$ $K/F$ 是有限生成的代数扩张。

命题 5.8

若 $K/F$ 是代数扩张且 $K$ 可由 $S\subseteq K$ 在 $F$ 上生成（作为域），则 $K$ 的每个元素都是 $F$ 上关于 $S$ 中有限个元素的多项式的有理函数。

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5.7 代数闭包的应用一瞥

代数闭包是域论中最基本的存在性定理之一。后续章节中：

• 分裂域本质上是一个多项式在代数闭包中生成的子域；
• 可分闭包是代数闭包中所有可分元的集合；
• 绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\bar{F}/F)$ 编码了 $F$ 的所有代数扩张信息。

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小结

本章的核心结论：

1. 有限扩张 $⟺$ 有限生成的代数扩张；
2. 代数元的四则运算仍是代数元；
3. 代数闭包存在唯一；
4. 代数扩张具有传递性。

这些性质构成了域扩张理论的骨架。下一章 第六章：分裂域 将引入一个至关重要的构造——分裂域，它是 Galois 理论的核心对象。