第三章：多项式环

方程是 Galois 理论的核心对象。多项式和多项式环是将方程系统化处理的代数载体。

• 3.1 一元多项式环
  • 定理 (广义带余除法)
• 3.2 不可约性与既约分解
  • 定义 (不可约多项式)
  • 定理 ( 是 PID 且 UFD)
• 3.3 不可约性判别法
  • Gauss 引理
  • Eisenstein 判别法
  • 模 约化判别法
• 3.4 对称多项式
  • 定义 (对称多项式)
  • 基本对称多项式
  • 对称多项式基本定理
• 3.5 多元多项式与 Hilbert 基定理
  • Hilbert 基定理
• 小结

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3.1 一元多项式环

设 $R$ 为交换环。记 $R[x]$ 为以 $x$ 为不定元的一元多项式全体。典型元素形如

$$f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,a_i\in R.$$

若 $a_n\ne 0$，则称 $n$ 为 $f$ 的 次数，记作 $\mathrm{deg}f=n$。零多项式的次数通常定义为 $-\mathrm{\infty }$。

定理 (广义带余除法)

设 $R$ 为含幺交换环，$f,g\in R[x]$ 且 $g$ 的首项系数是 $R$ 中的单位。则存在唯一的 $q,r\in R[x]$，使

$$f=qg+r,\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}g.$$

当 $R$ 是域时，任意非零 $g$ 都满足条件。

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3.2 不可约性与既约分解

定义 (不可约多项式)

非零非常数多项式 $f\in F[x]$（$F$ 为域）称为 不可约，若 $f=gh$ 蕴含 $\mathrm{deg}g=0$ 或 $\mathrm{deg}h=0$（即因子之一是常数）。否则称为 可约。

定理 ($F[x]$ 是 PID 且 UFD)

若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 是主理想整环 (PID)，进而是唯一分解整环 (UFD)。每个非常数多项式可唯一分解为不可约多项式的乘积（不计顺序和常数因子）。

意义：在 $F[x]$ 中，不可约多项式扮演了类似素数在 $\mathbb{Z}$ 中的角色。

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3.3 不可约性判别法

Gauss 引理

设 $R$ 为 UFD，$F=\mathrm{Frac}(R)$。若 $f\in R[x]$ 是本原多项式（系数的最大公因子是单位），则 $f$ 在 $R[x]$ 中不可约 $⟺$ $f$ 在 $F[x]$ 中不可约。

Eisenstein 判别法

设 $R$ 为 UFD，$f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0\in R[x]$ 为本原多项式。若存在素元 $p\in R$ 满足：

• $p\nmid a_n$；
• $p\mid a_i$（对所有 $0\le i<n$）；
• $p^2\nmid a_0$。

则 $f$ 在 $R[x]$（从而在 $F[x]$）中不可约。

::: example-box "Eisenstein 判别法的经典应用" 设 $p$ 为素数。多项式

$$x^n-p\in \mathbb{Z}[x]$$

在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约。特别地，$\sqrt[n]{p}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式就是 $x^n-p$，其次数为 $n$。 :::

模 $p$ 约化判别法

设 $f\in \mathbb{Z}[x]$ 为本原多项式。若存在素数 $p$ 使 $fmodp\in {\mathbb{F}}_p[x]$ 不可约且 $\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}(fmodp)$，则 $f$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约。

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3.4 对称多项式

定义 (对称多项式)

设 $R$ 为交换环。多项式 $f\in R[x_1,\dots ,x_n]$ 若在变量的任意置换下不变，则称为 对称多项式。

基本对称多项式

$n$ 个变量的基本对称多项式为：

$$\begin{array}{rl}{e}_1& =x_1+x_2+\cdots +x_n,\\ e_2& =\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j,\\ & ⋮\\ e_n& =x_1{x}_2\cdots x_n.\end{array}$$

对称多项式基本定理

每个对称多项式均可以唯一地表示为基本对称多项式的多项式。即

$$R[x_1,\dots ,x_n{]}^{S_n}=R[e_1,\dots ,e_n].$$

重要联系：设 $f(x)=x^n-e_1{x}^{n-1}+e_2{x}^{n-2}-\cdots +(-1{)}^n{e}_n$ 的根为 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$，则 $e_i$ 正是这些根的基本对称函数。对称多项式基本定理在 Galois 理论中用于证明：如果多项式的所有根之间有一组对称关系，那么这些关系可以用多项式系数表达——这是通向 Galois 可解性理论的关键桥梁。

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3.5 多元多项式与 Hilbert 基定理

Hilbert 基定理

若 $R$ 是 Noether 环，则 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 也是 Noether 环（任意理想都是有限生成的）。

推论：域上的多元多项式环是 Noether 环。这一结果保证了代数几何中仿射代数簇的定义是良定的。

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小结

本章建立了多项式环的基本理论：带余除法、不可约性与判别法（Gauss 引理、Eisenstein、模 $p$ 约化）、对称多项式及其基本定理，以及 Noether 性的 Hilbert 基定理。这些结果直接支撑了后续的域扩张和 Galois 理论。

延伸阅读：下一章 第四章：域的基本概念 将正式进入域论，讨论域扩张的度数、代数元与超越元等核心概念。