第十四章：代数闭包与绝对 Galois 群

构造域的代数闭包，介绍绝对 Galois 群这一核心不变量。

• 14.1 代数闭域
• 14.2 代数闭包的存在性
• 14.3 代数闭包的性质
• 14.4 绝对 Galois 群
• 14.5 射有限群复习
• 14.6 一些经典例子
• 14.7 绝对 Galois 群与逆 Galois 问题
• 小结

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14.1 代数闭域

域 $K$ 称为代数闭域，若任意非常数多项式 $f\in K[X]$ 在 $K$ 中有根。

基本事实：$K$ 代数闭 $⟺$ $K$ 没有非平凡代数扩张。

「代数基本定理」：$\mathbb{C}$ 是代数闭域。

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14.2 代数闭包的存在性

对任意域 $K$，存在代数扩张 $\bar{K}/K$ 使得 $\bar{K}$ 为代数闭域，称为 $K$ 的代数闭包。

证明（Zorn 引理）：

• 考虑所有代数扩张构成的归纳系统
• 取极大代数扩张，利用 Kronecker 构造证明其为代数闭域
• 两个代数闭包 $K$-同构（但不唯一）

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14.3 代数闭包的性质

1. $\bar{K}$ 在 $K$ 上正规且可分（若 $\mathrm{char}K=0$）
2. $\bar{K}$ 是无限 Galois 扩张（一般不可分）
3. 任意域嵌入 $\sigma :K\to L$ 可延拓到 $\bar{K}\to \bar{L}$

对特征零情形，$\bar{\mathbb{Q}}$ 尤其重要 — 所有代数数构成 $\mathbb{C}$ 的可数代数闭子域。

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14.4 绝对 Galois 群

定义：$K$ 的绝对 Galois 群为

$$G_K=\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)=\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$$

其中 $K^{\mathrm{sep}}$ 是 $K$ 在 $\bar{K}$ 中的可分闭包。

$G_K$ 是一个射有限群（profinite group）：

$$G_K\cong \underset{L/K\text{ 有限 Galois}}{\underleftarrow{\lim }}\mathrm{Gal}(L/K)$$

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14.5 射有限群复习

射有限群 $G$ 是有限群的投射极限：

• 紧致、完全不连通拓扑群
• 开子群为有限指数正规子群
• Krull 拓扑：以 $\mathrm{Gal}(\bar{K}/L)$ 为邻域基

这将在第十五章详细展开。

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14.6 一些经典例子

1. 有限域：$G_{{\mathbb{F}}_q}\cong \hat{\mathbb{Z}}=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，由 Frobenius $x\mapsto x^q$ 拓扑生成。

2. 实数域：$G_{\mathbb{R}}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（有限群）。

3. $p$-进域：$G_{{\mathbb{Q}}_p}$ 的结构极其复杂，是 Langlands 纲领的核心对象。

4. 有理数域：$G_{\mathbb{Q}}$ 是现代数论最神秘的对象之一。

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14.7 绝对 Galois 群与逆 Galois 问题

逆 Galois 问题：给定任意有限群 $G$，是否存在 $L/\mathbb{Q}$ 的 Galois 扩张使得 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong G$？

等价于：$G_{\mathbb{Q}}$ 的有限商群是否穷尽了所有有限群？

目前已知：所有有限单群可实现（经过大量困难工作）。全问题仍未解决。

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小结

代数闭包与绝对 Galois 群是进入无限 Galois 理论的桥梁。绝对 Galois 群编码了一个域的所有有限 Galois 扩张。

下一章 第十五章：无限 Galois 理论 正式建立无限 Galois 对应的 Krull 理论。