第十一章：根式可解性

Galois 理论最经典的应用：五次以上一般方程不可根式解。

• 11.1 历史背景
• 11.2 根式扩张
• 11.3 可解群
• 11.4 Galois 定理
  • 证明思路（→）
• 11.5 五次方程不可根式解
  • 一般 次方程
  • 关键事实
  • 例外
• 11.6 判别式与 Galois 群嵌入
• 11.7 计算可解性的算法步骤
• 小结

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11.1 历史背景

• 二次、三次、四次方程有根式解公式；
• 1824 年 Abel 证明一般五次方程不可根式解；
• 1831 年 Galois 给出任意多项式可根式解的充要条件。

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11.2 根式扩张

::: definition 根式扩张 域扩张 $F(\alpha )/F$ 称为 根式扩张（radical extension），如果存在正整数 $n$ 使得 ${\alpha }^n\in F$。称 $E/F$ 是可根式解的，若存在塔

$$F=F_0\subset F_1\subset \cdots \subset F_k=E$$

其中每个 $F_{i+1}/F_i$ 是根式扩张。 :::

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11.3 可解群

::: definition 可解群 群 $G$ 称为 可解群（solvable group），若存在次正规列

$$1=G_0⊴G_1⊴\cdots ⊴G_n=G$$

使得每个商群 $G_{i+1}/G_i$ 是交换群。 :::

性质：

• 交换群可解；
• 可解群的子群和商群可解；
• $S_n$ 当 $n\ge 5$ 时不可解（因为 $A_n$ 是单群）。

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11.4 Galois 定理

::: theorem 可根式解的 Galois 判据 设 $E/F$ 是特征 $0$ 的 Galois 扩张。则 $E/F$ 可根式解 当且仅当 $\mathrm{Gal}(E/F)$ 是可解群。 :::

证明思路（→）

1. 根式扩张链对应 Galois 群的次正规列；
2. $n$ 次根式扩张的 Galois 群嵌入循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（添加 $n$ 次单位根后）；
3. 循环群是可解群 → 合成可解群。

（←）：反之由 Galois 对应构造根式塔。

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11.5 五次方程不可根式解

一般 $n$ 次方程

设 $F=\mathbb{Q}(a_0,\dots ,a_{n-1})$ 为有理函数域，考虑一般多项式：

$$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$$

其分裂域 $E$ 的 Galois 群 $\cong S_n$。

关键事实

$S_n$ 当 $n\ge 5$ 时不可解。因此对于 $n\ge 5$，一般 $n$ 次方程不可根式解。

例外

特殊系数的五次方程可能可根式解（例如 $x^5-5x+12=0$，Galois 群为 $D_5$，可解）。

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11.6 判别式与 Galois 群嵌入 $A_n$

多项式的判别式 $\mathrm{\Delta }(f)=\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$。

$\sqrt{\mathrm{\Delta }(f)}\in F$ 当且仅当 Galois 群包含在 $A_n$ 中。这是判断低次多项式群的重要工具。

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11.7 计算可解性的算法步骤

1. 判别式测试 → Galois 群是否 $\subseteq A_n$；
2. 模 $p$ 约化 → 查看分解型（Dedekind 定理）；
3. 群数据库比配：对 $n=3,4,5$ 可用分类群列表；
4. 对 $n\ge 5$：大部分 $n$ 次多项式的 Galois 群是 $S_n$。

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小结

1. 多项式可根式解 ⇔ Galois 群可解；
2. $S_n$（$n\ge 5$）不可解 → 一般高次方程不可根式解；
3. 判别式和模 $p$ 约化是计算 Galois 群的有效技术；
4. 这是 Galois 理论最深刻的应用。

下一章 第十二章：尺规作图 展示 Galois 理论在几何中的应用。