第十章：Galois 对应详解

将 Galois 基本定理应用于具体例子，学习如何计算子群格和中间域格。

• 10.1 基本对应流程
• 10.2 例：四次扩张
  • Galois 群
  • 子群格（ 个子群）
  • 对应中间域
• 10.3 例： 次分圆扩张
  • 分圆多项式
  • Galois 群
  • 例：
• 10.4 计算固定域的技巧
• 10.5 Galois 对应的范畴视角
• 小结

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10.1 基本对应流程

给定 Galois 扩张 $E/F$：

1. 计算 Galois 群 $G=\mathrm{Gal}(E/F)$；
2. 求出 $G$ 的所有子群；
3. 找每个子群的固定域：对 $H⩽G$，求 $E^H=\{x\in E\mid \mathrm{\forall }\sigma \in H,\sigma (x)=x\}$；
4. 画格图：子群格（逆序）↔ 中间域格。

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10.2 例：四次扩张 $x^4-2$

多项式 $x^4-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。分裂域：

$$E=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$$

• $[E:\mathbb{Q}]=8$；
• 四个根：$\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}$；

Galois 群

$G\cong D_4$（二面体群，$8$ 阶），生成元：

• $\sigma$：旋转（$\sqrt[4]{2}\mapsto i\sqrt[4]{2}$，$i\mapsto i$）；
• $\tau$：反射（共轭，$i\mapsto -i$，$\sqrt[4]{2}\mapsto \sqrt[4]{2}$）；

关系：${\sigma }^4={\tau }^2=1,\tau \sigma \tau ={\sigma }^{-1}$。

子群格（$10$ 个子群）

                     D₄
                 /   |   \
           ⟨σ²,τ⟩  ⟨σ⟩  ⟨σ²,στ⟩
           /    \   |   /    \
    ⟨τ⟩ ⟨σ²τ⟩ ⟨σ²⟩ ⟨στ⟩ ⟨σ³τ⟩
           \    /  |  \    /
           ⟨σ²,τ⟩∩⟨σ²,στ⟩ = ⟨σ²⟩
                 \  |  /
                  {1}

对应中间域

子群	固定域	次数
$D_4$	$\mathbb{Q}$	1
$⟨\sigma ⟩$	$\mathbb{Q}(i)$	2
$⟨{\sigma }^2,\tau ⟩$	$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$	2
$⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$	2
$⟨\tau ⟩$	$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$	2
$⟨{\sigma }^2⟩$	$\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$	4
...	...	...

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10.3 例：$n$ 次分圆扩张

分圆多项式

设 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$。分圆多项式：

$${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{\begin{array}{c}1\le k\le n\\ gcd(k,n)=1\end{array}}(x-{\zeta }_n^k)$$

${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，次数为 $\phi (n)$。

Galois 群

$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$$

自同构：$a\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 对应 ${\sigma }_a:{\zeta }_n\mapsto {\zeta }_n^a$。

特别地，$n=p$ 素数时，Galois 群 $\cong C_{p-1}$（循环群）。

例：$\mathbb{Q}({\zeta }_8)$

$\phi (8)=4$。$G\cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong C_2\times C_2$。

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}({\zeta }_8)$？（实际 ${\zeta }_8=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$，所以 $\mathbb{Q}({\zeta }_8)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$）

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10.4 计算固定域的技巧

1. 对称多项式法：若 $H$ 的轨道已知，构造轨道上的对称函数；
2. 迹/范数法：$T_{E/E^H}(\alpha )=\sum _{\sigma \in H}\sigma (\alpha )\in E^H$；
3. 简单扩张法：找生成元并极小化；
4. 线性代数法：视 $E$ 为 $E^H$ 上的向量空间。

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10.5 Galois 对应的范畴视角

Galois 对应不仅是格反同构，还能提升为范畴等价：

$$\{\text{中间域}{\}}^{\text{op}}\simeq \{\text{紧子群}\}$$

（在无限情形用 Krull 拓扑）。这意味着 Galois 理论将域论转化为群论，进而转化为几何对象的覆盖空间理论。

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小结

1. 计算流程：Galois 群 → 子群 → 固定域 → 格图；
2. 具体例子：$x^4-2$（$D_4$），分圆扩张（$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$）；
3. 固定域计算可用对称多项式、迹/范数、线性代数等方法；
4. Galois 对应本质是范畴等价。

下一章 第十一章：根式可解性 将展示 Galois 理论最经典的应用。