第六章：分裂域

分裂域是多项式的"完全分解域"——是域扩张理论中最基本的存在性构造。本章建立分裂域的存在唯一性定理，初步引入正规扩张的概念，并给出若干重要实例。

• 6.1 动机
• 6.2 定义与基本性质
  • 命题 6.1
• 6.3 存在性与唯一性
  • 定理 6.2 (分裂域的存在性)
  • 定理 6.3 (分裂域的唯一性)
• 6.4 正规扩张的初步概念
  • 定义
  • 定理 6.4
• 6.5 重要例子
  • 例 6.1： 的分裂域（分圆域）
  • 例 6.2： 的分裂域
  • 例 6.3：非正规扩张
• 6.6 分裂域与 Galois 理论
• 小结

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6.1 动机

设 $f(x)\in F[x]$。我们希望找到 $F$ 的一个扩张 $K$，使得 $f(x)$ 在 $K[x]$ 中完全分解为一次因式的乘积：

$$f(x)=c\prod _{i=1}^n(x-{\alpha }_i),{\alpha }_i\in K.$$

这样的 $K$ 就是 $f$ 在 $F$ 上的分裂域（splitting field）。

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6.2 定义与基本性质

::: definition-box "分裂域" $F$ 上多项式 $f(x)$ 的分裂域是一个扩张 $K/F$，满足：

1. $f(x)$ 在 $K[x]$ 中分解为一次因式的乘积；
2. $K=F({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$，其中 ${\alpha }_i$ 是 $f$ 在 $K$ 中的所有根。

换言之，分裂域是包含 $F$ 且使 $f$ 完全分解的最小域扩张。 :::

命题 6.1

若 $K$ 是 $f\in F[x]$ 在 $F$ 上的分裂域且 $\mathrm{deg}f=n$，则

$$[K:F]\le n!$$

::: proof-block "证明" 对 $\mathrm{deg}f$ 归纳。设 ${\alpha }_1$ 为 $f$ 的一个根，则 $[F({\alpha }_1):F]\le n$。在 $F({\alpha }_1)$ 上，$f(x)=(x-{\alpha }_1)g(x)$，其中 $\mathrm{deg}g=n-1$。$K$ 也是 $g$ 在 $F({\alpha }_1)$ 上的分裂域，由归纳假设 $[K:F({\alpha }_1)]\le (n-1)!$。由次数塔公式即得。 :::

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6.3 存在性与唯一性

定理 6.2 (分裂域的存在性)

对任意 $f(x)\in F[x]$，存在 $f$ 在 $F$ 上的分裂域。

::: proof-block "证明" 对 $\mathrm{deg}f=n$ 归纳。$n=1$ 时 $F$ 自身即为分裂域。$n>1$ 时，取 $f$ 的一个不可约因子 $p(x)$，扩充 $F$ 至 $E=F[x]/(p(x))$。在 $E$ 中，$p$ 有根 $\alpha =x+(p)$。现在 $f$ 在 $E$ 上分解为 $(x-\alpha )h(x)$，$\mathrm{deg}h=n-1$。由归纳假设，$h$ 在 $E$ 上有分裂域 $K$。 :::

定理 6.3 (分裂域的唯一性)

$f$ 在 $F$ 上的任意两个分裂域是 $F$-同构的。

::: proof-block "证明思路" 使用域同构的延拓定理（关键引理）进行归纳。 :::

关键引理：设 $\sigma :F\to F^{\prime }$ 为域同构，$f\in F[x]$，$f^{\prime }=\sigma (f)\in F^{\prime }[x]$。设 $K$ 和 $K^{\prime }$ 分别是 $f$ 和 $f^{\prime }$ 的分裂域。则 $\sigma$ 可延拓为同构 $\tilde{\sigma }:K\to K^{\prime }$。

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6.4 正规扩张的初步概念

定义

一个代数扩张 $K/F$ 称为正规扩张（normal extension），若 $K$ 中每个在 $F$ 上不可约的多项式，只要在 $K$ 中有一个根，就在 $K$ 中完全分解。

定理 6.4

有限扩张 $K/F$ 是正规扩张 当且仅当 $K$ 是某个多项式在 $F$ 上的分裂域。

::: proof-block "证明思路" ($\Rightarrow$) 取 $K$ 的一组有限基，设 $K=F({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$。令 $f=\prod _i{m}_{{\alpha }_i}$。则 $K$ 是 $f$ 的分裂域（每个不可约因子有一个根在 $K$ 中，正规性保证完全分解）。

($\Leftarrow$) 使用引理：若 $K$ 是 $f$ 的分裂域，则 $K$ 中任意在 $F$ 上不可约且有一根在 $K$ 中的多项式必完全分解。 :::

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6.5 重要例子

例 6.1：$x^n-1$ 的分裂域（分圆域）

$x^n-1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域称为分圆域（cyclotomic field），记作 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$，其中 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$。

$$[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\phi (n)(\text{Euler 函数})$$

例 6.2：$x^3-2$ 的分裂域

$x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$，其中 $\omega =e^{2\pi i/3}$。

• $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$
• $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]=2$
• $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ):\mathbb{Q}]=6$

例 6.3：非正规扩张

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张，因为 $x^3-2$ 在此扩张中有一个根 $\sqrt[3]{2}$，但另外两个复根 $\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 不在其中。

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6.6 分裂域与 Galois 理论

分裂域是 Galois 理论的核心舞台。一个有限 Galois 扩张恰为某个可分多项式的分裂域。

在后续章节中我们将看到：

• 正规扩张 + 可分扩张 = Galois 扩张；
• 分裂域是正规扩张的典范构造；
• Galois 群作用于分裂域中的根集合上，产生置换表示。

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小结

1. 分裂域是使多项式完全分解的最小扩张；
2. 分裂域存在且在同构意义下唯一；
3. 有限正规扩张恰为分裂域；
4. $[K:F]$ 受 $\mathrm{deg}f$ 的阶乘控制。

下一章 第七章：可分扩张 将讨论重根问题，引入 Galois 理论的另一块基石。