第四章：域的基本概念

域是 Galois 理论的舞台，域扩张是贯穿全书的主题。本章建立域的代数基础概念，为后续域扩张理论做好准备。

• 4.1 域的定义与例子
  • 定义 (域)
  • 例子
  • 非例子
• 4.2 特征
  • 定义 (特征)
  • 定理
  • Frobenius 同态
• 4.3 域扩张
  • 定义 (域扩张)
  • 定义 (扩张次数)
  • 次数塔公式
• 4.4 代数元与超越元
  • 定义
  • 定义 (极小多项式)
  • 定理
• 4.5 单扩张与合成
  • 定义 (单扩张)
  • 单扩张的分类
  • 定义 (有限生成扩张)
• 4.6 代数扩张
  • 定义
  • 定理
  • 定理 (代数扩张的传递性)
• 历史注记
• 小结

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4.1 域的定义与例子

定义 (域)

域 $F$ 是一个集合，带有两种运算 $+$ 和 $\cdot$，满足：

1. $(F,+)$ 是 Abel 群（单位元记为 $0$）；
2. $(F^{\times },\cdot )$ 是 Abel 群，其中 $F^{\times }=F\setminus \{0\}$；
3. 乘法对加法满足分配律。

简言之，域是一个非零元素都可逆的交换环。

例子

域	符号	说明
有理数域	$\mathbb{Q}$	最小的特征 $0$ 域
实数域	$\mathbb{R}$	完备序域，非代数闭
复数域	$\mathbb{C}$	代数闭域
有限域	${\mathbb{F}}_p$	$p$ 为素数时，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是域
有理函数域	$F(t)$	$F$ 上的有理函数全体

非例子

• $\mathbb{Z}$ 不是域（$2$ 不可逆）；
• $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是域（$2\cdot 3=0$，有零因子）。

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4.2 特征

定义 (特征)

域 $F$ 的 特征 $\mathrm{char}F$ 是最小的正整数 $p$ 使得 $p\cdot 1_F=0$（即 $1_F$ 加自身 $p$ 次等于 $0$）。若不存在这样的 $p$，则 $\mathrm{char}F=0$。

定理

域的特征只能是 $0$ 或素数。

• 若 $\mathrm{char}F=0$，则 $F$ 包含与 $\mathbb{Q}$ 同构的子域（素域）。
• 若 $\mathrm{char}F=p>0$，则 $F$ 包含与 ${\mathbb{F}}_p$ 同构的子域（素域）。

Frobenius 同态

若 $\mathrm{char}F=p>0$，则映射

$$\mathrm{Frob}:F\to F,a\mapsto a^p$$

是域同态（由二项式定理 $(a+b{)}^p=a^p+b^p$ 在特征 $p$ 下成立）。这在有限域和正特征代数几何中至关重要。

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4.3 域扩张

定义 (域扩张)

若 $K$ 是域且 $F$ 是 $K$ 的子域（$F\subseteq K$），则称 $K/F$（读作 "$K$ over $F$"）为一个 域扩张。

我们视 $K$ 为 $F$-向量空间。

定义 (扩张次数)

域扩张 $K/F$ 的 次数（degree）定义为 $K$ 作为 $F$-向量空间的维数：

$$[K:F]={\dim }_{F}K.$$

• 若 $[K:F]<\mathrm{\infty }$，称为 有限扩张；
• 若 $[K:F]=\mathrm{\infty }$，称为 无限扩张。

次数塔公式

若有域扩张链 $F\subseteq L\subseteq K$，则

$$[K:F]=[K:L]\cdot [L:F].$$

这是域论中最基本也最常用的恒等式。

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4.4 代数元与超越元

定义

设 $K/F$ 为域扩张，$\alpha \in K$。

• 若存在非零多项式 $f\in F[x]$ 使 $f(\alpha )=0$，则 $\alpha$ 称为 $F$ 上的 代数元；
• 否则 $\alpha$ 称为 $F$ 上的 超越元。

定义 (极小多项式)

若 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式 $m_{\alpha }(x)\in F[x]$ 满足 $m_{\alpha }(\alpha )=0$，此即 $\alpha$ 在 $F$ 上的 极小多项式。

::: theorem-box "命题" 极小多项式 $m_{\alpha }(x)$ 具有以下性质：

1. $m_{\alpha }(x)$ 是 $F[x]$ 中以 $\alpha$ 为根的次数最小的首一多项式；
2. 若 $f(x)\in F[x]$ 且 $f(\alpha )=0$，则 $m_{\alpha }(x)\mid f(x)$；
3. $m_{\alpha }(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约。 :::

定理

若 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，极小多项式次数为 $n$，则

$$F(\alpha )=\{a_0+a_1\alpha +\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1}\mid a_i\in F\}\cong F[x]/(m_{\alpha }(x)),$$

且 $[F(\alpha ):F]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha }=n$。

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4.5 单扩张与合成

定义 (单扩张)

形如 $F(\alpha )$ 的扩张称为 单扩张，即包含 $F$ 和 $\alpha$ 的最小子域。

单扩张的分类

• 若 $\alpha$ 是代数元，$F(\alpha )$ 称为 单代数扩张，且 $F(\alpha )\cong F[x]/(m_{\alpha }(x))$；
• 若 $\alpha$ 是超越元，$F(\alpha )$ 称为 单超越扩张，且 $F(\alpha )\cong F(x)$（有理函数域）。

定义 (有限生成扩张)

域扩张 $K/F$ 若存在 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in K$ 使 $K=F({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$，则称 $K/F$ 为 有限生成扩张。

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4.6 代数扩张

定义

若 $K/F$ 的每个元素都在 $F$ 上代数，则 $K/F$ 称为 代数扩张。

定理

有限扩张必为代数扩张。

::: proof-block "证明思路" 设 $[K:F]=n$。对任意 $\alpha \in K$，元素组 $1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^n$（共 $n+1$ 个）在 $n$ 维向量空间 $K$ 中必然线性相关，因此存在不全为零的系数满足多项式关系，即 $\alpha$ 是代数元。 :::

定理 (代数扩张的传递性)

若 $L/F$ 是代数扩张且 $K/L$ 是代数扩张，则 $K/F$ 是代数扩张。

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历史注记

域的抽象定义由 Weber（1893）和 Steinitz（1910）系统给出。Steinitz 的奠基性论文 Algebraische Theorie der Körper 首次将域扩张次数、代数元和超越元等概念系统化，为 Galois 理论的现代抽象化铺平了道路。

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小结

本章介绍了域的代数基础：域的定义、特征、扩张次数、代数和超越元、极小多项式、单扩张等核心概念。次数塔公式和极小多项式的性质将持续在后续各章中发挥关键作用。

延伸阅读：下一章 第五章：代数扩张 将更深入地研究代数扩张的结构，包括有限扩张与代数扩张的精确关系以及代数闭包的存在性。