第二章：环与模

为了研究多项式方程，我们需要"多项式环"这一代数结构。环论是群论的自然延伸，增加了加法和乘法两种运算。

• 2.1 环的定义与基本例子
  • 定义 (环)
  • 例子
  • 非例子
• 2.2 理想与商环
  • 定义 (理想)
  • 定义 (商环)
  • 例子
• 2.3 素理想与极大理想
  • 定义
• 2.4 环同态与同构定理
  • 定义 (环同态)
• 2.5 整环、主理想整环与唯一分解整环
  • 定义
  • 例子与关系
• 2.6 模论基础
  • 定义 (-模)
  • 定义 (自由模与投射模)
  • 模的张量积
• 小结

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2.1 环的定义与基本例子

定义 (环)

一个 环 是一个集合 $R$ 配有两个二元运算 $+$（加法）和 $\cdot$（乘法），满足：

1. $(R,+)$ 是 Abel 群（其单位元记为 $0$）；
2. 乘法满足结合律：$a(bc)=(ab)c$；
3. 乘法对加法满足分配律：$a(b+c)=ab+ac$ 和 $(a+b)c=ac+bc$。

若存在 $1\in R$ 使 $1\cdot a=a\cdot 1=a$，则称 $R$ 为 含幺环。若乘法可交换，则称 $R$ 为 交换环。

本教程中的所有环默认为含幺交换环——这是域论和代数数论中最常见的设定。

例子

::: example-box "常见环"

• $\mathbb{Z}$（整数环）：含幺交换环。
• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（模 $n$ 剩余类环）：含幺交换环；当 $n$ 为素数时是域。
• $R[x]$（多项式环）：在第五章将详细研究。
• $M_n(\mathbb{R})$（矩阵环）：含幺，但当 $n\ge 2$ 时非交换。
• $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$（Gauss 整数环）：含幺交换整环。 :::

非例子

• $\mathbb{N}$ 在通常的 $+$ 和 $\cdot$ 下不是环（加法缺少逆元）。
• $2\mathbb{Z}$（偶数集合）在通常乘法下是环但无幺元（$1\notin 2\mathbb{Z}$）。

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2.2 理想与商环

定义 (理想)

设 $R$ 为环。子集 $I\subseteq R$ 称为 理想，若：

1. $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子群；
2. 对任意 $r\in R$ 和 $a\in I$，有 $ra\in I$（吸收性）。

直觉：理想在环中的地位类似于正规子群在群中的地位。它们允许我们构造商结构。

定义 (商环)

设 $I\subseteq R$ 为理想。商集合 $R/I=\{r+I\mid r\in R\}$ 在自然定义的加法和乘法下构成环，称为 商环。

例子

• $n\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$ 是理想，商环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 即模 $n$ 同余类环。
• 在 $\mathbb{R}[x]$ 中，$(x^2+1)=\{(x^2+1)f(x)\mid f\in \mathbb{R}[x]\}$ 是主理想，商环 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$。

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2.3 素理想与极大理想

定义

设 $R$ 为交换环，$P\subseteq R$ 为真理想（即 $P\ne R$）。

• $P$ 称为 素理想，若 $ab\in P$ 蕴含 $a\in P$ 或 $b\in P$。
• $M\subseteq R$ 称为 极大理想，若不存在真理想 $J$ 使 $M⊊J⊊R$。

::: theorem-box "商环与理想类型的对应" 设 $R$ 为含幺交换环。

1. $P$ 是素理想 $⟺$ $R/P$ 是整环。
2. $M$ 是极大理想 $⟺$ $R/M$ 是域。 :::

推论：极大理想必是素理想（因为域必是整环）。

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2.4 环同态与同构定理

定义 (环同态)

设 $R,S$ 为环。映射 $\phi :R\to S$ 若满足 $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ 和 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，且 $\phi (1_R)=1_S$，则称为 环同态。

环的三大同构定理与群的情形完全类似（第一、第二、第三同构定理），仅需将"正规子群"替换为"理想"。

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2.5 整环、主理想整环与唯一分解整环

定义

• 整环：无零因子的含幺交换环（即 $ab=0⟹a=0$ 或 $b=0$）。
• 主理想整环 (PID)：所有理想都是主理想（可由单个元素生成）的整环。
• 唯一分解整环 (UFD)：每个非零非单位元可唯一（不计顺序和单位因子）分解为素元的乘积。

例子与关系

• $\mathbb{Z}$ 既是 PID 也是 UFD。
• 若 $R$ 是 PID，则 $R$ 是 UFD。
• $R[x]$ 为 UFD 当 $R$ 是 UFD（Gauss 引理）。
• $\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD 但不是 PID（例如理想 $(2,x)$ 不是主理想）。

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2.6 模论基础

定义 ($R$-模)

设 $R$ 为环。一个 $R$-模 是一个 Abel 群 $(M,+)$ 配以标量乘法 $R\times M\to M$，满足类似向量空间的公理（但不要求 $R$ 是域）。

观点切换：当 $R$ 是域时，$R$-模就是 $R$ 上的向量空间；当 $R=\mathbb{Z}$ 时，$\mathbb{Z}$-模就是 Abel 群。模论统一了这两个概念，在 Galois 上同调（第十三章）中至关重要。

定义 (自由模与投射模)

• 自由模：具有基的模——即存在线性无关的生成元集合。每个向量空间都是自由模。
• 投射模：自由模的直和项。在 PID 上，投射 $⟺$ 自由（但一般环上不成立）。

模的张量积

对于 $R$-模 $M,N$，存在 张量积 $M{\otimes }_{R}N$，它是一个 $R$-模，满足泛性质：双线性映射 $M\times N\to P$ 一一对应于线性映射 $M{\otimes }_{R}N\to P$。

张量积在域的线性不交合（linear disjointness）理论中扮演关键角色，是研究复合域扩张的基本工具。

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小结

本章建立了环论和模论的核心框架：环、理想、商环、素理想/极大理想、整环的类型层次（PID、UFD），以及模的基本概念。这些工具对于理解多项式环（下一章）、域扩张中的整性（第五章）、以及 Galois 上同调至关重要。

延伸阅读：接下来，第三章：多项式环 将详细研究一元多项式环的结构，为域扩张理论做准备。